Équation diophantienne 2x + 7y = 3 - Corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation \((E) \colon 2x+7y=3\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour \(7\) et \(2\) :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r \\ \hline 7&2&3&1 \\ \hline 2&1&2&0\\ \hline \end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times 1 \\ \ \end{array}\end{align*}\)  
On a donc \(\mathrm{PGCD}(2;7)=1\) , et comme \(1\) divise \(3\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.

D'après l'algorithme d'Euclide, on a
\(\begin{align*}7=2 \times 3+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2 \times (-3)+7 \times 1=1\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2 \times (-9)+7 \times 3=3 \end{align*}\)  
donc \((x_0;y_0)=(-9;3)\) est une solution particulière de \((E)\) .

Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
On a  \(\begin{align*}2x+7y=2 \times (-9)+7 \times 3& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2(x+9)=7(3-y)\end{align*}\) . 
On en déduit que \(2\) divise \(7(3-y)\) .
Or \(\mathrm{PGCD}(2;7)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(2\) divise \(3-y\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}3-y=2k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=3-2k\end{align*}\) .
On a alors
\(\begin{align*}2(x+9)=7(3-y)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2(x+9)=7 \times 2k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+9=7k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=7k-9.\end{align*}\)    
Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(7k-9;3-2k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(7k-9;3-2k)\) .
On a  \(\begin{align*}2x+7y& = 2(7k-9)+7(3-2k)= 2 \times (-9)+7 \times 3= 3\end{align*}\) donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .

En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(7k-9;3-2k) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .